| Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις - Ανισότητες Jensen |
|
|
|
| |
|
|
|
| A΄ Θεωρία |
|
|
Β΄ Ασκήσεις |
| Πλήρες πακέτο θεωρίας - Μεθοδολογίας - παραδειγμάτων (μορφή html) |
|
|
1. Ασκήσεις ανάπτυξης |
| |
|
|
2. Ασκήσεις αντιστοίχισης |
| |
|
|
3. Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής |
| |
|
|
4. Ασκήσεις Σωστό - Λάθος |
| |
|
|
5. Ασκήσεις διάταξης |
| |
|
|
|
| Γ΄ Εφαρμογές |
|
|
|
Kυρτότητα συνάρτησης
Δώστε την συνάρτηση f , που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη , και μελετήστε την συμπεριφορά της f΄ όταν το x αυξάνεται ή μειώνεται.
Μελετήστε την κλίση της f΄ σε καθεμιά από τις παραπάνω περιπτώσεις και εξετάστε ποια είναι η θέση της εφαπτομένης ως προς το γράφημα της f. |
|
|
 |
| |
|
|
|
H έννοια της κοίλης - κυρτής συνάρτησης
Άσκηση 5 ομάδας Α΄ του βιβλίου σας.
Ένα κινητό κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης γραμμής f. Μελετήστε τα παρακάτω:
α)Πότε η στνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω και πότε κάτω;
β)Πότε η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και πότε μειώνεται;
γ)Πότε η εφαπτομένη στρέφεται κατά την θετική και πότε κατά την αρνητική φορά; |
|
|
 |
| |
|
|
|
Ανισοτικές σχέσεις Jensen
Aνακαλύψτε ανισοτικές σχέσεις που προκύπτουν από μια συνάρτηση f , που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα [α, β] |
|
|
 |
| |
|
|
|
Πρόλημα 1
Άσκηση 2 ομάδας Β΄ του βιβλίου σας.
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2ex-α - x2
Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α ,η γραφική παράσταση της f δέχεται ακριβώς ένα σημείο καμπής , το οποίο βρίσκεται στην παραβολή y = -x2 + 2. |
|
|
 |
| |
|
|
|
Πρόβλημα 2
Άσκηση 3 ομάδας Β΄ του βιβλίου σας.
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x4 - 2αx3 + 6x2 + 2x + 1
Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α$\in$(-2,2) ,η συνάρτηση είναι κυρτή σε όλο το R.. |
|
|
 |
| |
|
|
|
Πρόλημα 3
Άσκηση 4 ομάδας Β΄ του βιβλίου σας.
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 - 3x2 + 2
Να αποδείξετε ότι ,η γραφική παράσταση της f δέχεται ακριβώς ένα σημείο καμπής , ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο.
Τα αντίστοιχα σημεία που ορίζονται στο γράφημα της f , για τα οποία έχουμε ΤΜ , ΤΕ , ΣΚ είναι συνευθειακά |
|
|
 |
| |
|
|
|
Mελέτη κυρτότητας
Δώστε μια συνάρτηση και μελετήστε την κυρτότητά της και βρείτε τα σημεία καμπής της (άν υπάρχουν). |
|
|
 |
|
|
|
Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης 
